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PHP: Klasse zur statistischen Fehlererrechnung und Prozessfähigkeitsuntersuchung

geschrieben von am 25. November 2013 - zuletzt aktualisiert am 28. November 2013

In diesem Beitrag geht es darum, aus festgestellten Messergebnissen, die zum Beispiel in einer Datenbank abgelegt sind, eine sogenannte Prozessfähigkeitsanalyse zu erstellen.
Diese wird beispielsweise in der Automobilindustrie für die Qualitätssicherung gefordert und benötigt.

Bekannte geforderte Werte sind der Prozessfähigkeitsindex CpK – eine Kennzahl zur statistischen Bewertung eines Prozesses – oder ebenenfalls der Six-Sigma-Wert sowie einige andere Werte.
Mininum, Maximum, Durchschnitt, Median, Abstand (Range), Modus, Moment, Varianz, Standardabweichung, Standardfehler, Schiefe, Woelbung (Exzess), Variationskoeffizient, Prozessfaehigkeitsindex, Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, Verteilungsfunktion, PPM und Fehlerhaftigkeit können mit unten gelisteter PHP-Klasse bestimmt werden.

Ausgangslage der zu berechnenden Werte zur Prozessfähigkeitsanalyse können Messdaten aus dem Messlabor sein, die stichprobenartig von produzierten Bauteilen für die Automobilindustrie erfasst wurden.
 
Hier ein Beispiel errechneter Werte in tabellarischer Form:

Messpunkt: MP 1.0 MP 2.0 MP 3.0 MP 4.0 MP 5.0 MP 6.0
Funktionsmaß: 1.5000 24.1000 73.5000 34.0000 8.0000 13.4000
Untere Toleranzgrenze: 1.4000 23.9000 73.2000 33.7000 7.8000 13.1000
Obere Toleranzgrenze: 1.6000 24.3000 73.8000 34.3000 8.2000 13.7000
Untere Eingriffsgrenze: 1.4000 23.9000 73.2000 33.7000 7.8000 13.1000
Obere Eingriffsgrenze: 1.6000 24.3000 73.8000 34.3000 8.2000 13.7000
Toleranz: 0.2000 0.4000 0.6000 0.6000 0.4000 0.6000
Eingriffsbereich: 0.2000 0.4000 0.6000 0.6000 0.4000 0.6000
Anzahl 12 12 12 12 12 12
davon außerhalb Toleranz: 0 0 0 0 0 0
Modus: 10 2 3 2 6 3
Minimum: 1.5000 23.9600 73.6800 33.8700 8.0000 13.3500
Maximum: 1.5100 24.0800 73.7700 34.0300 8.0200 13.4100
Mittelwert: 1.5017 24.0233 73.7225 33.9250 8.0117 13.3808
Median: 1.5000 24.0300 73.7300 33.9150 8.0100 13.3900
Range: 0.0100 0.1200 0.0900 0.1600 0.0200 0.0600
Summe: 18.0200 288.2800 884.6700 407.1000 96.1400 160.5700
StaAbw. Stichproben: 0.0039 0.0365 0.0360 0.0514 0.0072 0.0239
Varianz Stichproben: 0.0000 0.0013 0.0013 0.0026 0.0001 0.0006
Schiefe: 2.0552 -0.2669 0.3193 1.0679 -0.2623 0.0739
Exzess: 2.6400 -0.5722 -1.9740 0.0575 -0.6851 -1.7922
Variationskoeffizient: 0.2592 0.1520 0.0488 0.1516 0.0896 0.1787
Standardfehler: 0.0011 0.0105 0.0104 0.0148 0.0021 0.0069
Messergebnis: 1.5017
± 0.0011		 24.0233
± 0.0105		 73.7225
± 0.0104		 33.9250
± 0.0148		 8.0117
± 0.0021		 13.3808
± 0.0069
Obere Toleranz – Mittelwert: 0.0983 0.2767 0.0775 0.3750 0.1883 0.3192
Mittelwert – untere Toleranz: 0.1017 0.1233 0.5225 0.2250 0.2117 0.2808
Cpo: 8.4208 2.5256 0.7184 2.4303 8.7466 4.4485
Cpu: 8.7062 1.1259 4.8432 1.4582 9.8302 3.9142
Cp: 0.1168 0.5477 0.3596 0.5143 0.1077 0.2392
CpK: 8.4208 1.1259 0.7184 1.4582 8.7466 3.9142
Dichtefunktion: 0.00000 0.00133 0.03912 0.00003 0.00000 0.00000
IST-Wert IST-Wert IST-Wert IST-Wert IST-Wert IST-Wert
Teil 1 1.5000 24.0800 73.7500 33.9800 8.0000 13.3500
Teil 2 1.5000 24.0500 73.7600 33.9300 8.0100 13.4000
Teil 3 1.5000 23.9700 73.7700 34.0300 8.0000 13.3600
Teil 4 1.5100 24.0000 73.7600 33.9000 8.0100 13.4100
Teil 5 1.5100 23.9600 73.7100 33.9200 8.0200 13.4100
Teil 6 1.5000 24.0600 73.7700 33.8900 8.0200 13.3700
Teil 7 1.5000 24.0100 73.7000 33.8700 8.0200 13.3700
Teil 8 1.5000 24.0600 73.7000 33.8800 8.0100 13.3600
Teil 9 1.5000 24.0200 73.6900 33.8800 8.0200 13.4100
Teil 10 1.5000 24.0400 73.6900 33.9100 8.0100 13.3500
Teil 11 1.5000 24.0100 73.6800 34.0000 8.0100 13.4000
Teil 12 1.5000 24.0200 73.6900 33.9100 8.0100 13.3800

 
In folgendem kleinen Code-Beispiel wird ein Array statisch befüllt, also nicht aus einer Datenbank.
Nach der Erzeugung einer Instanz der Klasse `calcStatistics‘ kann auf dessen Eigenschaften (Variablen) zugegriffen werden.

<?PHP
/*
 * by Hofmann R. Julian // ~ 2013
 */

error_reporting(E_ALL ^ E_NOTICE);
 
require_once('statistics.php');
 
$messergebnisse = array(13.3500, 13.4000, 13.3600, 13.4100, 13.4100, 13.3700,
    13.3700, 13.3600, 13.4100, 13.3500, 13.4000, 13.3800);

$calc = new calcStatistics($messergebnisse, 13.7000, 13.1000);

$calc->calcAllStatistics();
print 'Exzess' . ': ' . $calc->kurtosis . "\n";
print 'Modus' . ': ' . $calc->mode . "\n";
print 'Dichte' . ': ' . $calc->density . "\n";
print 'CpK' . ': ' . $calc->C_pK . "\n";
print 'Variationskoeffizient' . ': '. $calc->variationCoefficient . "\n";
print 'Messergebnis' . ': ' . $calc->average . ' ± ' . $calc->standardError . "\n";

?>

statistics_php
Die Methode `calcAllStatistics‘ ruft alle relevanten Methoden der Klasse `calcStatistics‘ auf.
 
Bei einem Aufruf über das Commandline-Interface sieht die Ausgabe dann so aus:

 
Hier also die Klasse `calcStatistics':

<?PHP
/*
 * statistics.php
 * by Hofmann R. Julian // ~ 2013
 */

error_reporting(E_ALL ^ E_NOTICE);
 
 
class calcStatistics {
    var $records;

    var $counted, $sum;
    var $minimum = NULL, $maximum = NULL, $average = NULL;
    var $median, $range, $mode;
    var $moment = array(2 => NULL, 3 => NULL, 4 => NULL);
    var $variancePopulation = NULL, $varianceExamples = NULL;
    var $standardDeviationPopulation, $standardDeviationExamples = NULL;
    var $standardError, $skewness, $kurtosis, $variationCoefficient;
    var $upperLimit = NULL, $lowerLimit = NULL;
    var $C_uL, $C_lL, $C_p, $C_pK = NULL;
    var $density = NULL, $distribution = NULL;
    var $noncomforming = NULL;

    function calcStatistics(&$records, $upperLimit = NULL, $lowerLimit = NULL) {
        $this->records = $records;

        $this->counted = count($this->records);
        $this->sum = array_sum($this->records);

        if ($upperLimit != NULL)
            $this->upperLimit = $upperLimit;
        if ($lowerLimit != NULL)
            $this->lowerLimit = $lowerLimit;
    }   

    function calcAllStatistics() {
        $this->calcMinimum();
        $this->calcMaximum();
        $this->calcAverage();
        $this->calcMedian();
        $this->calcRange();
        $this->calcMode();
        $this->calcVariancePopulation();
        $this->calcVarianceExamples();
        $this->calcStandardDeviationPopulation();
        $this->calcStandardDeviationExamples();
        $this->calcStandardError();
        $this->calcSkewness();
        $this->calcKurtosis();
        $this->calcVariationCoefficient();
        $this->calcProcessCapabilityIndex();
        $this->calcDensity();
        $this->calcDistribution();
        $this->calcPartsPerMillion();
        $this->calcNonconforming();
    }   

    /* Minimum */
    function calcMinimum() {
        $this->minimum = min($this->records);
    }   

    /* Maximum */
    function calcMaximum() {
        $this->maximum = max($this->records);
    }   

    /* Durchschnitt */
    function calcAverage() {
        $this->average = $this->sum / $this->counted;
    }   

    /* Median */
    function calcMedian() {
        $copiedRecords = $this->records;
        sort($copiedRecords);

        if ($this->counted % 2)
            $this->median = ($copiedRecords[($this->counted + 1) / 2]);
        else
            $this->median = ($copiedRecords[($this->counted) / 2] +
                $copiedRecords[(($this->counted) / 2) + 1]) / 2;
    }

    /* Abstand */
    function calcRange() {
        if ($this->minimum == NULL)
            $this->calcMinimum();
        if ($this->maximum == NULL)
            $this->calcMaximum();

        $this->range = $this->maximum - $this->minimum;
    }

    /* Modus */
    function calcMode() {
        $vals = array();
        foreach ($this->records as $record)
            $vals["$record"]++;

        $this->mode = max($vals);
    }

    /* Moment */
    function calcMoment($exp) {
        if ($this->average == NULL)
            $this->calcAverage();

        foreach ($this->records as $record)
            $this->moment[$exp] += pow($this->average - $record, $exp);
    }

    /* Varianz Grundgesamtheit */
    function calcVariancePopulation() {
        if ($this->moment[2] == NULL)
            $this->calcMoment(2);

        $this->variancePopulation = $this->moment[2] / $this->counted;
    }

    /* Varianz Stichproben */
    function calcVarianceExamples() {
        if ($this->moment[2] == NULL)
            $this->calcMoment(2);

        $this->varianceExamples = $this->moment[2] / ($this->counted - 1);
    }

    /* Standardabweichung Grundgesamtheit */
    function calcStandardDeviationPopulation() {
        if ($this->variancePopulation == NULL)
            $this->calcVariancePopulation();

        $this->standardDeviationPopulation = sqrt($this->variancePopulation);
    }

    /* Standardabweichung Stichproben */
    function calcStandardDeviationExamples() {
        if ($this->varianceExamples == NULL)
            $this->calcVarianceExamples();

        $this->standardDeviationExamples = sqrt($this->varianceExamples);
    }

    /* Standardfehler */
    function calcStandardError() {
        if ($this->moment[2] == NULL)
            $this->calcMoment(2);

        $this->standardError = sqrt($this->moment[2] / ($this->counted * ($this->counted - 1)));
    }

    /* Schiefe */
    function calcSkewness() {
        if ($this->standardDeviationExamples == NULL)
            $this->calcStandardDeviationExamples();
        if ($this->moment[3] == NULL)
            $this->calcMoment(3);

        $this->skewness = ($this->counted / (($this->counted - 1) * ($this->counted - 2))) *
            (1 / pow($this->standardDeviationExamples, 3)) * $this->moment[3];
    }

    /* Exzess, Woelbung */
    function calcKurtosis() {
        if ($this->standardDeviationExamples == NULL)
            $this->calcStandardDeviationExamples();
        if ($this->moment[4] == NULL)
            $this->calcMoment(4);

        $this->kurtosis = (
                (($this->counted * ($this->counted + 1)) / (($this->counted - 1) *
                    ($this->counted - 2) * ($this->counted - 3))) *
                    (1 / pow($this->standardDeviationExamples, 4)) * $this->moment[4]) -
                (3 * (pow(($this->counted - 1), 2) / (($this->counted - 2) * ($this->counted - 3))));
    }

    /* Variationskoeffizient */
    function calcVariationCoefficient() {
        if ($this->standardDeviationExamples == NULL)
            $this->calcStandardDeviationExamples();

        $this->variationCoefficient = ($this->standardDeviationExamples / $this->average) * 100;
    }

    /* Prozessfaehigkeitsindex */
    function calcProcessCapabilityIndex($upperLimit = NULL, $lowerLimit = NULL) {
        if ($upperLimit != NULL)
            $this->upperLimit = $upperLimit;
        if ($lowerLimit != NULL)
            $this->lowerLimit = $lowerLimit;

        if ($this->upperLimit == NULL || $this->lowerLimit == NULL)
            return;

        if ($this->standardDeviationExamples == NULL)
            $this->calcStandardDeviationExamples();

        $this->C_uL = ($this->upperLimit - $this->average) / (3 * $this->standardDeviationExamples);
        $this->C_lL = ($this->average - $this->lowerLimit) / (3 * $this->standardDeviationExamples);
        $this->C_p  = (6 * $this->standardDeviationExamples / ($this->upperLimit - $this->lowerLimit));
        $this->C_pK = ($this->C_uL > $this->C_lL) ? $this->C_lL : $this->C_uL;
    }

    /* Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion */
    function calcDensity() {
        if ($this->C_pK == NULL)
            $this->calcProcessCapabilityIndex();
        if ($this->C_pK == NULL)
            return;

        $stabw = 1;
        $E = 0;

        $this->density = (
            (1 / sqrt(2 * pi() * $stabw * $stabw)) *
            exp((-(($this->C_pK * 3) - $E) * (($this->C_pK * 3) - $E)) / (2 * $stabw * $stabw)));
    }

    /* Verteilungsfunktion */
    function calcDistribution() {
        if (!function_exists('stats_cdf_normal'))
            return;

        if ($this->C_pK == NULL)
            $this->calcProcessCapabilityIndex();
        if ($this->C_pK == NULL)
            return;

        $stabw = 1;
        $E = 0;

        $this->distribution = stats_cdf_normal($this->C_pK * 3, $E, $stabw, 1);
    }

    /* Teile pro Million */
    function calcPartsPerMillion() {
        if ($this->distribution == NULL)
            $this->calcDistribution();
        if ($this->distribution == NULL)
            return;

        $ppm = (1 - $this->distribution) * 1000000;
        $this->ppm = array($ppm, $ppm / 10000);
    }

    /* Fehlerhaftigkeit */
    function calcNonconforming($upperLimit = NULL, $lowerLimit = NULL) {
        if ($upperLimit != NULL)
            $this->upperLimit = $upperLimit;
        if ($lowerLimit != NULL)
            $this->lowerLimit = $lowerLimit;

        if ($this->upperLimit == NULL || $this->lowerLimit == NULL)
            return;

        $this->nonconforming = 0;

        foreach ($this->records as $record)
            if ($record < $this->lowerLimit || $record > $this->upperLimit)
                $this->nonconforming++;
    }
}
?>

 
Getestet wurde die PHP-Klasse mit php5.2.13 auf OpenBSD 4.8 und php5.5.6 auf gentoo Linux.

 
Um zu verstehen, was die errechneten Werte aussagen sollen (worauf dieser Beitrag hier nicht eingeht) und wie sie mathematisch errechnet werden, kann ich folgendes Buch empfehlen:
“Schnelleinstieg Statistik” von Stefan Hagl (ISBN-10: 3448086215).

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